Question

求详细解题过程和图

Answer 1

已知AB为园C：x²+y²-2y=0的直径，点P为直线L₁：y=x-1上任意一点，则∣PA∣²+∣PB∣²的最

小值=？

解：园C：x²+(y-1)²=1；圆心C：(0，1)；半径R=1；

由基本不等式得：∣PA∣²+∣PB∣²≧2∣PA∣∣PB∣，当∣PA∣=∣PB∣时等号成立。

为此过圆心C(0，1)作AB∥L₁，则AB所在直线L₂的方程为：y=x+1；即x=y-1；

将x=y-1代入园C的方程得：(y-1)²+y²-2y=2y²-4y+1=0，故得y=1±(√2)/2；

x₁=-(√2)/2，x₂=(√2)/2；即A，B的坐标为：A(-√2/2，1-√2/2))；B(√2/2，1+√2/2)；

过园心C作直线L₃⊥L₁，则L₃的方程为：y=-x+1；令-x+1=x-1；得 x=1，y=0；即L₃与L₁的

交点P的坐标为(1，0)；此时∣PA∣=∣PB∣=√[(1+√2/2)²+(1-√2/2)²]=√3；

故min[∣PA∣²+∣PB∣²]=2(√3)²=6；

Answer 2

圆方程配方得 x²＋(y-1)²＝1，
设A(cosα，1＋sinα)，B(-cosα，1-sinα)，P(x，x-1)，
则 |PA|²＋|PB|²
＝(x-cosα)²＋(x-2-sinα)²
＋(x＋cosα)²＋(x-2＋sinα)²
＝4x²-8x＋10
＝4(x-1)²＋6
≥ 6，
当且仅当 x＝1 时，所求最小值为 6 。

Answer 3

供参考。

Answer 4

把圆的表达式划一下，可以得到圆的圆心和半径，要使pa的平方加pb的平方最小，使pa等于pb