Question

如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连接AE,过A做AF⊥AE交CB的延长线与F,连接EF,取EF的中点P，连接AP、BP证

证明∠BPF=45°-∠BFP

Answer 1

证明：因为ABCD是正方形
所以AD=AB
角D=角BAD=角ABC=90度
因为角ABF+角ABC=180度
所以角ABF=角D=90度
因为AE垂直AF
所以角EAF=角BAF+角BAE=90度
角BAD=角DAE+角BAE=90度
所以角DAE=角BAF
所以直角三角形DAE和直角三角形BAF全等（ASA)
所以AE=AF
所以三角形EAF是等腰直角三角形
因为P是EF的中点
所以AP是等腰直角三角形EAF的垂线（等腰三角形中线和垂线合一）
所以角APF=90度
角AFE=45度
所以角APF=角ABF=90度
所以A.F.B.P四点共圆
所以角AFE=角ABP=45度
因为角ABC=角ABP+角CBP=90度
所以角CBP=角BPF+角BFP=45度
所以角BPF=45度-角BFP

Answer 2

三角形AED全等于三角形AFB(ASA)
连接BD交EF于K,作EN垂直于DC交BD于N
三角形ENK全等于三角形FBK
角kbf=角kne=135°
因KE=KF,K就是D
之后三角形内角和180°
之后完了

Answer 3

∵AE＝AF、AE⊥AF、EP＝FP，∴∠PAF＝45°、AP⊥PF。
∵ABCD是正方形，∴AB⊥BF，又AP⊥PF，∴P、A、F、B共圆，∴∠PBC＝∠PAF＝45°。
由三角形外角定理，有：∠PBC＝∠BPF＋∠BFP，∴45°＝∠BPF＋∠BFP，
∴∠BPF＝45°－∠BFP。