Question

在空间四边形ABCD中，E`F分别是AB`CD的中点，求证：EF<1/2(AC+BD).

Answer 1

取BC中点G，连接EG、FG
E、F、G分别是AB、CD、BC的中点
所以EG是△ABC中位线，EG=1/2AC
同理FG是△BCD中位线，FG=1/2BD

而且EG∥AC，FG∥BD
在空间四边形ABCD中，AC与BD异面直线，所以EG与FG不平行
所以EFG是△

三角形EFG中，两边之和大于第三边，所以EG+FG>EF
所以EF<1/2(AC+BD)

Answer 2

取BC中点M,连接EM、FM
在三角形ABC中，EM为中位线，
所以EM=1/2*AC
同理可得FM=1/2*BD
所以EM+FM=1/2*(AC+BD)
在三角形EFM中，根三角形三边关系定理可得
EF<EM+FM
所以EF<1/2*(AC+BD)