Question

微分方程求解实际问题？

为什么我不可以直接设速度与时间的关系式v（t），v（t）的导数为a（t）。将a（t）积分后得到通解，再代入题目中的初值条件，得到任意常数c的值。然后得到v（t）的函数表达式呢？

Answer 1

微菲方解决实际问题的办法有很多。

Answer 2

《微积分 A》 习题解答 习题 5.8(P338) 1. 一圆柱形水桶内有盐溶液， 每升溶液中含盐. 现有质量浓度为的盐溶液以所含盐的质量. 的流速注入桶内， 搅拌均匀后以 4的速度流出. 求任意时刻桶内溶液L40kg1min/Lkg /5 . 1min/4LL解： 设为时刻)(tmm =t 的含盐量， 则时刻 t 流出的溶液的浓度为40m， 在时间微元上， 盐量的变化量等于流入的盐量减去流出的盐量， 即 ],[dttt+dtmdtmdtdm⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=×−×=10644045 . 1 因而所求初值问题为 ⎪⎩⎪⎨⎧=−==401060tmmdtdm， 解方程得 1060tCem−−=， 由初始条件40=m0=t得20=C 故时刻 t 桶内溶液所含盐的质量102060tem−−= 2. 有直径， 高 H的直立圆柱形桶， 充满液体， 液体从其底部直径d圆孔流出. 问需要多长时间桶内的液体全部流出（流速为mD1=m2=cm1=的ghcv =其中 ch 为液面高， g. 2，6 . 0=，2）/s8 . 9 m=解： 取微元， 则相应的液面高度的微元为],[dttt+],[dhhh+， 且 dt 与反号， 在内液体的变化量等于桶内液体的流出量， 当时， 流出量dQ， dh0>],[dttt+0>dt1 dtghcvdtdQ4211024201. 0⎜⎝−⋅=⋅⎟⎠⎞⎛=ππ 桶内液体的减少量 dhdhdQ4)() 5 . 0 (π=22π−=− 由于桶内液体的减少量与流出量相等， 即2dQ1dQdtghc41024−⋅πdh4π−= 从而得初值问题 第 5 章 常微分方程 第 8 节 用常微分方程求解实际问题 1/16 《微积分 A》 习题解答 ⎪⎩⎪⎨⎧===−221004thhdhgcdt 设T 时桶内液体流净， 则对方程两端积分得 ∫∫−=0240210hdhgcdtT 得hshgT3)(106488 . 96 . 0102226 . 0104204≈≈×=⋅= 3. 某容器是由曲线绕)(xfy =y 轴旋转而成的立体. 今按的流量注水. 为使水面上升速率恒为stcm /23scm /f2π，应是怎样的函数？ （设) x(0) 0 (f=） . 解： 解法 1： 取微元， 则相应的水面高度的微元为],[dttt+],[dyyy+， 容器中水量的增加量 ) 1 (2dyxdQπ=y注入水量 ) 2 (2tdtdQ =ydyy +)(xfy = 又 ) 3 (2π=dtdy ox由(1)、 (2)得 ) 4 (22xtdtdyπ= 由(3)、 (4)得 ππ222=xt， 即 ) 5 (2xt =解方程(3)得 Cty+=π2 当时，， 由此得， 从而 0=t0=y0=Ctyπ2=， (5) 代入上式得 即22xπy= 解法 2： 当水面高度为 y 时容量为 ∫∫==yπyπdyyxdyxV0202)(第 5 章 常微分方程 第 8 节 用常微分方程求解实际问题 2/16 《微积分 A》 习题解答 得 )(2yxdydVπ= 由题设得 ) 6 (2π=dtdy 故有 )(22)(22yxyxdtdydydVdtdV=⋅=⋅=ππ 又由题设 tdtdV2=， 从而得 tx222=即 ) 7 (2xt =解方程(6)得 Cty+=π2 当时，， 由此得， 从而 0=t0=y0=Ctyπ2=， )