Question

初中数学难题:一道函数难题

已知二次函数与x轴交于A、B（14,0）两点，与y轴交于C（0，-8）点。它们的对称轴是x=4,对称轴与x轴的交于D点。连接CD和CB，有一点P从A点出发，向D点以每秒一个单位移动，另一QD点从C点出发向B点以某个速度移动，连接PQ交CD与H点，假设点P的移动时间是t,请问当t等于多少时PQ垂直CD且PH=QH.

Answer 1

解 ： 当t=5时PQ垂直CD且PH=QH.
解答思路 由对称轴是x=4，B（14,0）可确定A(-6,0)
设P(a,0) Q(m,n)由两点间距离公式可得PQ表达式进而得到QH表达式
由于PQ垂直CD且PH=QH.可知三角形DOC相似于三角形DHQ(不会打符号)
所以QH比8等于QD比CD
又由PQ垂直CD可知直线PQ的斜率K=-1/2 从而a-m=2n带人上式得 n=4a-16/5
过Q点做X轴垂线交X轴于点E
又由三角形BQE相似于三角形OCB可得 m=7a+42/5
带人a-m=2n得到 a=-1 即P点坐标为（-1,0） 由A点坐标为（-6,0）和有一点P从A点出发，向D点以每秒一个单位移动可知移动5秒 ∴t=5

Answer 2

解：此题用直线斜率来解比较简洁，可以不牵涉到两点距离公式;这里要用到两条直线的夹角公式
tanθ=|(k1-k2)/(1+k1k2)|其中θ为两直线的夹角。k1,k2为两直线的斜率。
首先，当PQ垂直CD且PH=QH.时，直线CP与直线CB关于直线CD对称
由直线的截距式(x/a+y/b=1,其中a,b为直线在x,y轴上的截距)，可以直接写出直线CD,CB的解析式：Lcd:x/4+y/-8=1;Lcb:x/14+y/-8=1;从而容易求出直线Lcd,Lcb的斜率分别为：2,4/7;设直线CP的斜率为K，则|(2-k)/(1+2k)|=|(2-4/7)/1+2*4/7|可求出K=-8(k=4/7舍去)
然后由于CP又过C(0,-8)可以求出CP的直线解析式为：y=-8x-8,令y=0,可求出P(-1,0)
由对称轴是x=4，B（14,0）可确定A(-6,0)
从而可求出t=5

顺便又由于CQ⊥CD,所以CP斜率为-1/2，从而可求出直线CQ:y=-x/2-1/2；联立CQ,CD,可求出Q点
(3,-2),再由中点公式，可求出Q(7,-4),还可求出Q点的速

Answer 3

答 ： 当t=5时PQ垂直CD且PH=QH.
解答思路 由对称轴是x=4，B（14,0）可确定A(-6,0)
设P(a,0) Q(m,n)由两点间距离公式可得PQ表达式进而得到QH表达式
由于PQ垂直CD且PH=QH.可知三角形DOC相似于三角形DHQ(不会打符号)
所以QH比8等于QD比CD
又由PQ垂直CD可知直线PQ的斜率K=-1/2 从而a-m=2n带人上式得 n=4a-16/5
过Q点做X轴垂线交X轴于点E
又由三角形BQE相似于三角形BCO可得 m=7a+42/5
带人a-m=2n得到 a=-1 即P点坐标为（-1,0） 由A点坐标为（-6,0）和有一点P从A点出发，向D点以每秒一个单位移动可知移动5秒 所以t=5
解答者：昆山迅飞教育 （稍繁琐些 请自行整理）