Question

将函数展开成幂级数。

Answer 1

由题设条件，有f(0)=0；两边对x求导，有f'(x)=(1/4)[1/(1+x)+1/(1-x)]+(1/2)/(1+x²)-1=1/(1-x^4)-1。
而，当丨x^4丨<1时，1/(1-x^4)=1+x^4+x^8+…+x^(4n)+…，n=0,1,2，…，∞。
∴f'(x)=x^4+x^8+…+x^(4n)+…，n=1,2，…，∞。两边从0到x积分，∴f(x)=∑[x^(4n+1)]/(4n+1)，其中n=1,2，……，∞；丨x^4丨<1。
供参考。

Answer 2

f(x)=1/4 ln[(1+x)/(1-x)]+1/2 arctanx -x
f'(x) = 1/4 *1/(1+x) -1/4 *1/(1-x) + 1/2 1/(1+x^2)-1
=-1 + 1/4 (1-x+x^2-x^3...) -1/4(1+x+x^2 +...) +1/2 (1-x^2+x^4+...)
= -1 +1/2 (1+x^2+x^4+...)+1/2(1-x^2+x^4 +...)
=-1 +1 +x^4 + x^8 +...+x^4k +...
= sum(x^4k)
求积分得到 原式= 1/5 x^4 + 1/9 x^9 +... = sum(1/(4k+1) x^(4k+1))

Answer 3