Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴 的正半轴上，OA=3，OB=4

D为边OB的中点。

若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标

标答是这样的
作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，连结D'G与x轴交于点E,在EA上截取EF=2
这时的CDEF周长最小

我想知道，为什么这时候的周长最小？

Answer 1

四边形CDEF的周长=CD+EF+FC+DE

因为CD=根号下（BC方+BD方）=根号下13       EF=2

所以四边形CDEF周长最小时：FC+DE要最小

作D点关于X轴的对称点D'，则DE=D'E

所以只需D'E+FC最小

又因为FC=GE(平行四边形对边相等)

所以原题转化为D'E+GE最小，只需D'、E、G共线即可

这时四边形CDEF周长最小。

Answer 2

由于D'是点（0，-2），设定点C’（3，-2）做连线D’C'，且连接AC’则延长CF自然交与点（2，-2）上，定义该点为H，由于CD、EF固定，所以只要证明CH最短即可。假设右边点F’是另一存在最短的线，则除去CD、EF的长度，则比较长度正好是CH同CF’+DE，而DE=ED’=F’H，正好构成三角形CHF’，两边之和大于第三边，所以CH最短，同理F’’在左边也同理证明CH最小，所以周长最短。