Question

已知：如图，三角形ABC内接于圆O、AE是圆O的直径，CD是三角形ABC中AB边上的高。求证：AC.BC=AE.CD

Answer 1

证明:连接CE
∵AE是直径
∴∠ACE=90
∵CD是三角形ABC中AB边上的高
∴∠BDC=90
∴∠ACE=∠BDC
∵弧AC=弧AC
∴∠B=∠E
在△BDC和△ACE中
∵∠B=∠E,∠ACE=∠BDC
∴△BDC∽△ACE
∴AC:CD=AE:BC
∴AC.BC=AE.CD

Answer 2

证明：连接EC
因为 AE是直径
所以 ∠ACE＝Rt∠
所以 ∠ACE＝∠BDC
因为 ∠B＝∠E （同圆中，等弧对等角）
所以 △AEC相似于△CBD
所以 AC/AE＝CD/BC
所以 AC*BC＝AE*CD