Question

dx/x(1+x)(1+x+x^2)的不定积分？

Answer 1

1/[x(1+x)(1+x+x^2)] ≡A/x+B/(x+1) +(Cx+D)/(x^2+x+1)

=>

1 ≡A(1+x)(1+x+x^2)+Bx(1+x+x^2) +(Cx+D)x(1+x)

x=0， => A = 1/3

x=-1， =>B=-1

A+B+C =0

1/3 -1 + C=0

C= -2/3

x=1

6A + 3B + 2(C+D) = 1

2-3 - 4/3 + 2D =1

D = 5/3

1/[x(1+x)(1+x+x^2)]

≡(1/3)(1/x)- 1/(x+1) + (1/3)[(-2x+5)/(x^2+x+1)]

∫dx/[x(1+x)(1+x+x^2)]

=∫{ (1/3)(1/x)- 1/(x+1) +(1/3) [(-2x+5)/(x^2+x+1) } dx

=(1/3)ln|x| - ln|x+1| +(1/3) ∫(-2x+5)/(x^2+x+1) dx

=(1/3)ln|x| - ln|x+1| -(1/3) ∫(2x+1)/(x^2+x+1) dx +2∫dx/(x^2+x+1) dx

=(1/3)ln|x| - ln|x+1| -(1/3)ln|x^2+x+1| +2∫dx/(x^2+x+1) dx

=(1/3)ln|x| - ln|x+1| -(1/3)ln|x^2+x+1| +(4√3/3)arctan[( 2x+1)/√3] + C

x^2+x+1 = (x +1/2)^2 + 3/4

x+1/2 =(√3/2)tanu

dx =(√3/2)(secu)^2 du

∫dx/(x^2+x+1)

=∫(√3/2)(secu)^2 du/[ (3/4) (secu)^2 ]

= (2√3/3) u + C

= (2√3/3)arctan[( 2x+1)/√3] + C

扩展资料：

定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

参考资料来源：百度百科——不定积分

Answer 2

结果为：u/(u^2+a^2)+2∫du/(u^2+a^2)-∫(2a^2)/(u^2+a^2)^2du

解题过程如下：

原式=∫du/(u^2+a^2)

=u/(u^2+a^2)-∫ud[1/(u^2+a^2)]

=u/(u^2+a^2)+∫2u^2/(u^2+a^2)^2du

=u/(u^2+a^2)+∫(2u^2+2a^2-2a^2)/(u^2+a^2)^2du

=u/(u^2+a^2)+2∫du/(u^2+a^2)-∫(2a^2)/(u^2+a^2)^2du

扩展资料

求函数积分的方法：

设F（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的实函数f（x），在区间[a，b]上的定积分记为：

若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。

Answer 3

这是公式，是特殊解法：
∫du/(u^2+a^2)
=u/(u^2+a^2)-∫ud[1/(u^2+a^2)]
=u/(u^2+a^2)+∫2u^2/(u^2+a^2)^2du
=u/(u^2+a^2)+∫(2u^2+2a^2-2a^2)/(u^2+a^2)^2du
=u/(u^2+a^2)+2∫du/(u^2+a^2)-∫(2a^2)/(u^2+a^2)^2du
移项就是

Answer 4

这是公式，是特殊解法：

∫du/(u^2+a^2)

=u/(u^2+a^2)-∫ud[1/(u^2+a^2)]

=u/(u^2+a^2)+∫2u^2/(u^2+a^2)^2du

=u/(u^2+a^2)+∫(2u^2+2a^2-2a^2)/(u^2+a^2)^2du

=u/(u^2+a^2)+2∫du/(u^2+a^2)-∫(2a^2)/(u^2+a^2)^2du

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C 

= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C 

= - ln|secx - tanx| + C 

= ln|secx + tanx| + C

Answer 5

let
1/[x(1+x)(1+x+x^2)] ≡A/x+B/(x+1) +(Cx+D)/(x^2+x+1)
=>
1 ≡A(1+x)(1+x+x^2)+Bx(1+x+x^2) +(Cx+D)x(1+x)
x=0, => A = 1/3
x=-1, =>B=-1
coef. of x^3

A+B+C =0
1/3 -1 + C=0
C= -2/3
x=1
6A + 3B + 2(C+D) = 1
2-3 - 4/3 + 2D =1
D = 5/3
1/[x(1+x)(1+x+x^2)]

≡(1/3)(1/x)- 1/(x+1) + (1/3)[(-2x+5)/(x^2+x+1)]

∫dx/[x(1+x)(1+x+x^2)]
=∫{ (1/3)(1/x)- 1/(x+1) +(1/3) [(-2x+5)/(x^2+x+1) } dx
=(1/3)ln|x| - ln|x+1| +(1/3) ∫(-2x+5)/(x^2+x+1) dx
=(1/3)ln|x| - ln|x+1| -(1/3) ∫(2x+1)/(x^2+x+1) dx +2∫dx/(x^2+x+1) dx
=(1/3)ln|x| - ln|x+1| -(1/3)ln|x^2+x+1| +2∫dx/(x^2+x+1) dx

=(1/3)ln|x| - ln|x+1| -(1/3)ln|x^2+x+1| +(4√3/3)arctan[( 2x+1)/√3] + C
consider
x^2+x+1 = (x +1/2)^2 + 3/4
let
x+1/2 =(√3/2)tanu
dx =(√3/2)(secu)^2 du
∫dx/(x^2+x+1)
=∫(√3/2)(secu)^2 du/[ (3/4) (secu)^2 ]
= (2√3/3) u + C
= (2√3/3)arctan[( 2x+1)/√3] + C