Question

高数重积分问题？

设平面区域D由y=x，圆x2+y2=2y及y轴所组成，则二重积分
∫∫Dxydσ= 想知道这个题目为什么用极坐标积分的时候 r的取值范围是0到2sint 而不是根号2到sint 感觉下限0的话取不到啊

Answer 1

设x=rcost,y=rsint,则方程x^2+y^2=2y,变为r=2sint,
直线y=x与y轴交于原点。
可以吗？

追问

那请问r的取值范围是什么呢 就是积分区间？

追答

r的取值范围是积分区间.

追问

对呀 我想问下积分区间为什么从0开始 我认为从根号2开始啊

追答

∫∫xydσ=∫du∫r^3sinucosudr
=∫(2sinu)^4/4*sinucosudu,
=(2/3)(sinu)^6|
=(2/3)(1-1/8)
=7/12.
可以吗？

追问

哥 你给我解答下 r的取值范围为什么是从0开始不是从根号2开始 你写的这些我都知道啊

追答

D是一个区域：圆x^2+y^2=2y与y轴交于点O(0,0),A(0,2),与直线y=x交于O,B(1,1).
OB=√2，但u=π/4时r是从0到√2.
否则，看到的是一条弧AB。