Question

高等数学：梯度的含义？

不要学术的复杂解释，也不要专业含义，要形象解释，梯度究竟意味着什么，什么意思？方向导数是同一节的内容，我理解成任意方向（不同于偏导数只是坐标轴方向）的某东东的变化快慢。可是梯度是什么？一层层？像梯级？用来做什么用的？说到方向导数与梯度的夹角，增加最快，最慢，垂直，方向导数达到最大……￥%#@%&×T_T，就崩溃了，无法了解！举例，形象，通俗解释，否则真的很难明白，谢谢！

Answer 1

首先讲下方向导数。正如偏导一样，方向导数也是在特定方向上函数的变化率，只不过偏导是在x和y轴方向上罢了，特殊一点而已。方向导数在各个方向上的变化一般是不一样的，那到底沿哪个方向最大呢？沿哪个方向最小呢？为了研究方便，就有了梯度的定义。很明显梯度实际上就是以对x的偏导为横坐标，以对y偏导数为纵坐标的一个向量，而方向导数就等于这个向量乘以指定方向的单位向量。根据向量乘积的定义可知，对于一个给定的函数，他的偏导是一定的（当然是在同一个点），所以当给定方向与梯度方向一致时，变化最快
总的来说，梯度的定义是为了研究方向导数的大小更方便而定义的。
（ps：那些偏导公式不好打，不然可以解释得很清楚的！！！求采纳啊亲......）

Answer 2

去bilibili看汤家凤老师的视频

Answer 3

梯度
　　gradient
　　设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
　　在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
　　在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
　　梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。
　　在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量
　　(δf/x)*i+(δf/y)*j
　　这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)
　　类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]