Question

证明，若当X趋向于正无穷时，函数F(X)存在极限，则极限唯一

Answer 1

证明：lim(x→+∞)f(x)的极限是唯一的 用反证法证如下
假设函数f(x)当x趋于正无穷时函数极限不唯一
不妨假设lim(x→+∞)f(x)=A 且 lim(x→+∞)f(x)=B 并且A≠B。
由lim(x→+∞)f(x)=A
对于任意ε＞0，存在N1＞0，满足当x＞N1时
|f(x)-A|＜ε/2。
由lim(x→+∞)f(x)=B
对任意ε＞0，存在N2＞0，满足当x＞N2时
|f(x)-B|＜ε/2。
∴肯定能找到N=max{N1,N2}当x＞N时
|f(x)-A|+|f(x)-B|＜ε/2+ε/2=ε
又∵|f(x)-A|+|f(x)-B|=|A-f(x)|+|f(x)-B|≥|A-f(x)+f(x)-B|=|A-B|
∴|A-B|≤|f(x)-A|+|f(x)-B|＜ε
根据极限定义可知A=B。
与题目中A≠B矛盾。
因此原结论成立
即若当x趋近于+无穷,函数f(x)存在极限,则极限唯一。