Question

欧拉公式如何简单推导

Answer 1

^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的证明： 因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=??i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!??x^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 将公式里的x换成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到： e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式

Answer 2

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Answer 3

老K唾沫么么，哦哦哦拉去weak哦作用楼退货们，哦脱离进图我魔图女王受我摸，哦就摸困吧苏总具体咯女了咯，某件垃圾咯meal卧龙。

Answer 4

将函数y=e^x、y=sinx、y=cosx用幂级数展开,有
e^x=exp(x)＝1＋x/1!＋x^2/2!＋x^3/3!＋x^4/4!＋…＋x^n/n!＋…
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+……
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+……
将式中的x换为ix,得到式；
将i*+式得到式.比较两式,知与恒等.
于是我们导出了e^ix=cosx+isinx,
将公式里的x换成-x,得到：
e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
此时三角函数定义域已推广至整个复数集.
P.S.
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数,这种级数称为幂级数.
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
实用幂级数：
ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...
ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|

Answer 5

楼主说的欧拉公式是复数的那个欧拉公式：e^ix=cosx+isinx么；如果是的话不是很难推导，简单给你个思路吧：
1.把复数系数i看成未知x项一部分，对函数f=e^ix用泰勒展开，然后合并：
e^ix=1+ix+1/2!*(ix)^2+1/3!*(ix)^3+...+1/n!*(ix)^n
2.把上面的ix的项展开有i偶次方=-1，i的奇数次方=-i；
3.合并，用sinx和cosx的展开级数代替就得到欧拉公式；
希望对你有帮助，详细信息可以参考同济大学的高等数学下册无穷级数的章节；

追问

呃 为何式子中有感叹号 能否不用太深奥的知识推导 还没学那么多