Question

讨论f(x)=lim(x+x^2e^nx)/(1+e^nx)的连续性

Answer 1

n→∞吗？
权当如此吧

当x=0时,f(x)=(0+0)/1=0;
当x<0时,nx→ -∞,则e^nx→0，则f(x)=x；
lim(x→0-) f(x)= lim(x→0-) x =0，
所以f(x)在x=0处左连续。

当x>0时,nx→ +∞,则e^nx→+∞
f(x)=lim(n→ +∞) (x+x^2e^nx)/(1+e^nx)
=(x^2·n·e^nx)/(n·e^nx) 【洛比达法则】
= x^2
lim(x→0+) f(x)= lim(x→0+) x^2 =0，
所以f(x)在x=0处右连续

——由此可见，函数f(x)={
x, x<0
0, x=0
x^2, x>0
在整个定义域R上连续。