Question

微分中值定理题目

如图，这道题应该怎样构造辅助函数，这里构造的函数R有时带负号，有时不带，是什么意思？

Answer 1

设M=0，则f(x)=0，因此f′(x)=0，显然 |f′(ξ)|≥2M成立。
设M>0，则由连续函数的介值定理知，存在一点x0ϵ(0,1)，使 f(x0)=M。由于x0为区间(0,1)的内点，由费马定理得，f′(x0)=0。
当0≤x0≤1/2时，由拉氏中值定理，f(x0)-f(0)=f′(ξ)x0，其中ξϵ(0,1/2)。取绝对值，得
|f(x0)|=|f′(ξ)|x0≤|f′(ξ)|(1/2)，即 |f′(ξ)|≥2M。
当1/2<x0≤1时，由拉氏中值定理，f(1)-f(x0)=f′(ξ1)(1-x0)，其中ξ1ϵ(1/2,1)。取绝对值，得
|f(x0)|=|f′(ξ1)|(1-x0)≤|f′(ξ1)|(1/2)，即 |f′(ξ1)|≥2M。证毕。

Answer 2

构造辅助函数的时候，因为普遍使用ln型，遇到符号都可以通过ln的性质把符号提到幂次数前面。
也就是构造过程里，出现的负号都认为是辅助函数的一部分，这个过程又不懂再问题吧