Question

设F(X)是定义在(0,正无穷)的单调递增函数,对定义域内任意X Y,有F(XY)=F(X)+F(Y),F(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1

设F(X)是定义在(0,正无穷)的单调递增函数,对定义域内任意X Y,有F(XY)=F(X)+F(Y),F(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1,求使f(x)+f(x-3)<2成立的x的取值范围。

个人答案是-1<x<4 但老师却跟我说，因为函数在（0，正无穷）递增所以F(X-3)要>0,即X-3>0,他最后的答案是3<x<4 谁对

讨论一个问题，求解答。 既然函数在在（0，正无穷）单调递增，可否确立为它是二次函数？
个人觉得答案有两种情况。
F(4)=2,即有F(-4)=2. 即 F(X)+F(X-3)>F(-4) F(X)+F(X-3)<F(4)
即答案是 F(-4)<F(X)+F(X-3)<F(4)

Answer 1

1、函数F(x)在x>0时递增，则对于F(x－3)来说，也必须：x－3>0即：x>3；
2、这个函数未必是二次函数的。

从F(x)＋F(y)=F(xy)，得到：①f(x)＋f(x－3)<2就是：f[x(x－3)]<2；②x>0；③x－3>0
另外，从：
f[x(x－3)]>2中，我们希望得到2等于多少f(x)，假如能行的话，那就可以利用单调性去掉f符号了。

f(2)=1，则：f(4)=f(2×2)=f(2)＋f(2)=2，即：f(4)=2
所以，有：
f[x(x－3)]<2=f(4)
等价于：
x(x－3)<4

追问

那最后答案是?,但题目要求的是 <f（4) 没比要再考虑他递增的情况吧

追答

从F(x)＋F(y)=F(xy)，得到：①f(x)＋f(x－3)0 -------------------------------------(2)
③x－3>0，就是：x>3 -----------------(3)
由(1)、(2)、(3)，得：
3<x<4

Answer 2

解析：∵F(X)是定义在(0,正无穷)的单调递增函数
∴函数自变量x必须大于0
∵对定义域内任意的X Y，有F(xy)=f(x)+f(y)成立
∴xy，x，y均必须大于0
要使f(x)+f(x-3)<2成立，即使f(x(x-3))<2也成立
X>0,x-3>0==>x>3
∴f(x(x-3))的定义域，即x,x-3同时大于0，为x>3
∵f(2)=1==>f(2*2)=f(4)=f(2)+f(2)=2
∴使f(x)+f(x-3)<2成立的x的取值范围为3<x<4
可见，你们老师的答案正确，你的结果超出了定义域，
函数f(x)不可能是二次函数，二次函数不满足F(xy)=f(x)+f(y)，即x^2+y^2≠(xy)^2
还有一点，从你问问题叙述中看出，你有可能是将函数值与自变量的值混了，二者是不同的概念，它们的取值范围也大不相同，这一点千万注意。

Answer 3

既然函数在在（0，正无穷）单调递增，可否确立为它是二次函数？
标准答案是错的，原因是你不知道0前面的函数性质，所以不能盲目确定次想法，你这种想法不可取，反而会误了你的数学路。

追问

那答案是？

追答

上楼的就是标准答案

Answer 4

分析一下···由题意知f（2×2）=f（2）+f（2）=2，f（2×4）=f（2）+f（4）=3，f[x（x-2）]＜f（8），再由f（x）的定义域为（0，+∞），且在其上为增函数知x（x-2）＜8 解得答案．

解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
f（2×4）=f（2）+f（4）=3，由f（x）+f（x-2）＜3得f[x（x-2）]＜f（8）又因为f（x）的定义域为（0，+∞），且在其上为增函数所以x（x-2）＜8 解得，0＜x＜4．
所以不等式f（x）+f（x-2）＜3的解集为{x|0＜x＜4}．
答案：{x|0＜x＜4}．

Answer 5

老师的答案是对的，但是解释的不对，首先单调性与否和最后x的取值范围毫无关系，为什么说老师的答案对，是因为这道题本身，要解出问题：求使f(x)+f(x-3)<2成立的x的取值范围。就必须使用问题里的条件F(XY)=F(X)+F(Y),F(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1。因为条件的前提是F(X)是定义在(0,正无穷)。所以最后答案必须遵守同样原则。