Question

高等数学不定积分？

如图，这题要怎么做？求下解释过程，谢谢啦

Answer 1

易知sin x ≠-1，所以x≠（2k+1）π，k∈Z，所以x≠π/2+kπ，k∈Z，因此tan(x/2)存在。

可以用万能公式进行换元。

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  图一

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  图二

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  图三

令tan(x/2)=t，利用如上公式表示出sinx；

再利用图一公式，两边求微分，cos x dx=2(1-t²)/(t²+1)² dt，代入cos x 关于t的表达式（图二），用t表示出dx。

将以上结果代入积分式，会化简得到∫2dt/(t+1)²，再用第一类换元法，可解出结果。最后记得将t=tan(x/2)代入。

Answer 2

∫1/(1+sinx)dx
=∫[(1-sinx)/(1-sinx)(1+sinx)]dx
=∫(1-sinx)/(1-sin^2 x)dx
=∫[(1-sinx)/cos^2 x]dx
=∫[1/cos^2 x]dx+∫[1/cos^2 x]d(cosx)
=tanx-(1/cosx)+C
=(sinx-1)/cosx+C