Question

在三角形ABC中，内角A,B,C对边分别是a，b，c，若cosB=4/5，b=2

设三角形ABC中的内角A,B,C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=4/5,b=2.
(1)当a=5/3时，求角A的度数 （2）求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

cosB=4/5 sinB=3/5
正弦定理
a/sinA=b/sinB
sinA=a*sinB/b=1/2 a<b A为锐角，所以A=30°
余弦定理
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=4/5 a^2+c^2>=2ac
(2ac-4)/2ac<=4/5
ac<=10
S=1/2*ac*sinB<=1/2*10*3/5=3
三角形ABC面积的最大值=3

Answer 2

cosB=4/5,则有sinB=3/5
正弦定理得:a/sinA=b/sinB
sinA=asinB/b=(5/3)(3/5)/2=1/2
由于sinA<sinB,故角A是锐角.
所以,角A=30度.
余弦定理得b^2=a^2+c^2-2accosB
4=a^2+c^2-2ac*4/5>=2ac-2ac*4/5
即ac<=10
S=1/2acsinB<=1/2*10*3/5=3
即面积的最大值是:3.