Question

一道初中数学题，求详解↓

在梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC,过点D作DE⊥BC,垂足为E,并延长DE至F,使EF=DE,连接BF,CF,AC（1）求证：四边形ABFC是平行四边形 （2）如果DE²=BE×CE，求证：四边形ABFC是矩形。 求详解，特别是第二问。
图

Answer 1

1.∵DE⊥BC，EF=DE。
∴CE是DF的垂直平分线。
∴DC=FC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
又.∵AB=DC
∴AB=FC
又∵在梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC
∴ ∠ABC=∠DCB(等腰梯形的性质)
又.∵DC=FC，DE⊥BC
∴∠DCB=∠FCB(等腰三角形三线合一)
又∵ ∠ABC=∠DCB
∴∠ABC=∠FCB
∴AB‖FC
∴四边形ABFC是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
2.∵DE²=BE×CE，EF=DE
∴DECE=BE:EF
又∵DE⊥BC
∴∠BEF=∠DEC=90°
∴三角形BEF∽三角形DEC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
∴∠FBE=∠CDE
又∵∠ABC=∠DCB
∴∠FBE+∠ABC=∠CDE+∠DCB=90°
即∵∠ABF=90°
∴四边形ABFC是矩形

Answer 2

兄弟,你知道这题目打上去很困难的
三角形DEC全等于三角形FEC吧?所以DC=FC
因为角DCB=角ABC=角ECF
所以AB平行CF, 所以四边形ABFC是平行四边形
因为BE/DE=DE/EC,角BED=角DEC,所以三角形BED相似于三角形DEC
所以角BDC=90度
因为三角形BDC全等于三角形BFC
所以他是矩形
好的话求给分

Answer 3

（1）证：连接BD，梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC,
BD=AC；
DE⊥BC，EF=DE，
BF=BD，DC=FC；
四边形ABFC是平行四边形。
（2）证：
DE²=BE×CE
BE/DE=DE/CE
△BED∽△DEC
∠EDC=∠EBD,∠EDC=∠EDB,
∠EDC+∠ECD=∠EDC+EDB=90°
∠BFC=∠BDC==∠EDC+EDB=90°
四边形ABFC是矩形。

Answer 4

（1）连接DB证三角形ABD全等三角形DAB
（2）摄影定理，
易证三角形BDE相似于三角形BCD
则角BDC为直角
再证三角形BDC全等于三角形BFC
省略一部分，剩下的自己就能补充