Question

急！已知函数f(x)＝根号3×sin(x/4)cos(x/4)＋(cosx/4)＾2

（1）若f(x)=1，求cos（2派/3-x）的值（2）在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足acosC+1/2c=b，求f(B)的取值范围

Answer 1

f(x)＝根号3×sin(x/4)cos(x/4)＋(cosx/4)＾2
＝根号3／2＊sinx/2+(cosx/2+1)/2
＝sinx/2cosPai/6+sinPai/6cosx/2+1/2
=sin(x/2+Pai/6)+1/2
f(x)=1,即有sin(x/2+Pai/6)=1/2
即有cos(Pai/2-x/2-Pai/6)=cos(Pai/3-x/2)=1/2
cos(2Pai/3-x)=2[cos(Pai/3-x/2)]^2-1=2*1/4-1=-1/2
(2)acosC+1/2c=b
acosC＋1/2c=b，则2sinAcosC＋sinC=2sinB=2sin(A＋C)=2sinAcosC＋2cosAsinC，所以sinC=2cosAsinC，得cosA=1/2，A=60°
0<B<2π/3
π/6<π/6+B/2<π/2
1/2<sin(B/2+Pai/6)<1
所以，1<f(B)<3/2

Answer 2

解：（1）f(x)＝√3×sin(x/4)cos(x/4)＋(cosx/4)＾2
＝√3／2＊sinx/2+(cosx/2+1)/2
＝sinx/2cosπ/6+sinπ/6cosx/2+1/2
=sin(x/2+π/6)+1/2
f(x)=1,即有sin(x/2+π/6)=1/2，
即有cos(π/2-x/2-π/6)=cos(π/3-x/2)=1/2，
cos(2π/3-x)=2[cos(π/3-x/2)]^2-1=2*1/4-1=-1/2。
（2）acosC+1/2c=b，由射影定理，acosC+ccosA=b，所以cosA=1/2，A=60°。
所以0<B<2π/3，π/6<π/6+B/2<π/2，1/2<sin(B/2+π/6)<1，所以，1<f(B)<3/2 。