Question

已知向量m=(sinx,√3sinx),向量n=(sinx,-cosx),设函数f(x)=向量m×向量n

已知向量m=(sinx,√3sinx)，向量n=(sinx,-cosx),设函数f(x)=向量m×向量n
（1）求函数f(x)在【0，3π/2]上的单调增区间
（2）在三角形ABC中，abc分别是角ABC的对边，A为锐角，若f(A）+sin(2A-π/6)=1，b+c=7，三角形ABC的面积为2√3，求边a的长

Answer 1

f(x)=(sinx)^2-√3sinxcosx
=(1-cos2x)/2-√3/2sin2x
=-(√3/2sin2x+1/2cos2x)+1
=-sin(2x+π/6)+1
（1）当0≤x≤3π/2时，π/6≤2x+π/6≤19π/6
而y=-sinx在[2kπ-π/2,2kπ+π/2]上单调递减，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]上单调递增
所以当2x+π/6∈[π/2,3π/2]∪[5π/2,19π/6]时，单调递增，此时对应x∈[π/6,2π/3]∪[7π/6,3π/2]，
所以函数f(x)在[0，3π/2]上的单调递增区间为：[π/6,2π/3]∪[7π/6,3π/2]。
（2）f(A)+sin(2A-π/6)=-sin(2A+π/6)+1+sin(2A-π/6)=1
所以sin(2A+π/6)-sin(2A-π/6)=0，即2cos2Asin(π/6)=0
所以cos2A=0，而A∈(0,π/2)，即2A∈(0,π)
所以2A=π/2，所以A=π/4
而S△ABC=1/2*bcsinA=1/2*bc*√2/2=√2/4*bc=2√3
所以bc=4√6，而b+c=7，所以b^2+c^2=(b+c)^2-2bc=49-8√6
所以a^2=b^2+c^2-2bccosA=49-8√6-2×4√6×√2/2=49-8√6-8√3
所以a=√(49-8√6-8√3)