高数 换元不定积分
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令√（x^2－9）＝u,则：x^2＝u^2＋9,∴d（x^2）＝2udu.
∴∫［√（x^2－9）/x］dx
＝（1/2）∫［2x√（x^2－9）/x^2］dx
＝（1/2）∫［√（x^2－9）/x^2］d（x^2）
＝（1/2）∫［u/（u^2＋9）］·2udu
＝∫｛［（u^2＋9）－9］/（u^2＋9）｝du
＝∫du－9∫［1/（u^2＋9）］du
＝u－9∫｛1/［9（u/3）^2＋9］｝du
＝u－3∫｛1/［（u/3）^2＋1］｝d（u/3）
＝u－3arctan（u/3）＋C
＝√（x^2－9）－3arctan［（1/3）√（x^2－9）］＋C.
∴∫［√（x^2－9）/x］dx
＝（1/2）∫［2x√（x^2－9）/x^2］dx
＝（1/2）∫［√（x^2－9）/x^2］d（x^2）
＝（1/2）∫［u/（u^2＋9）］·2udu
＝∫｛［（u^2＋9）－9］/（u^2＋9）｝du
＝∫du－9∫［1/（u^2＋9）］du
＝u－9∫｛1/［9（u/3）^2＋9］｝du
＝u－3∫｛1/［（u/3）^2＋1］｝d（u/3）
＝u－3arctan（u/3）＋C
＝√（x^2－9）－3arctan［（1/3）√（x^2－9）］＋C.
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令x=3secu
∫[√(x²-9)/x]dx
=∫[√(9sec²u-9)/(3secu)]d(3secu)
=∫[3tanu·3secutanu/(3secu)]du
=∫3tan²udu
=3∫(sec²u-1)du
=3(tanu-u) +C
=√(x²-9)-3arccos(3/x) +C
∫[√(x²-9)/x]dx
=∫[√(9sec²u-9)/(3secu)]d(3secu)
=∫[3tanu·3secutanu/(3secu)]du
=∫3tan²udu
=3∫(sec²u-1)du
=3(tanu-u) +C
=√(x²-9)-3arccos(3/x) +C
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