Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0),方程f(x)

1,当x属于(0,x1)时，证明x<f(x)<x12,设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明；x0<x1/2

Answer 1

证明：（Ⅰ）令F（x）=f（x）-x．因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x1）（x-x2）．
当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x-x1）（x-x2）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x1）（x-x2）＞0，
即x＜f（x）．
x1-f（x）
=x1-[x+F（x）]
=x1-x+a（x1-x）（x-x2）
=（x1-x）[1+a（x-x2）]
因为0＜x＜x1＜x2＜1 a
所以x1-x＞0，1+a（x-x2）=1+ax-ax2＞1-ax2＞0．
得x1-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x1．
（Ⅱ）依题意知x0=-b 2a
因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的根．
∴x1+x2=-b-1 a ，x0=-b 2a =a(x1+x2)-1 2a =ax1+ax2-1 2a
因为ax2＜1，所以x0＜ax1 2a =x1 2 ．

Answer 2

证明：（Ⅰ）令F（x）=f（x）-x．因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x1）（x-x2）．
当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x-x1）（x-x2）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x1）（x-x2）＞0，
即x＜f（x）．
x1-f（x）
=x1-[x+F（x）]
=x1-x+a（x1-x）（x-x2）
=（x1-x）[1+a（x-x2）]
因为0＜x＜x1＜x2＜1 a
所以x1-x＞0，1+a（x-x2）=1+ax-ax2＞1-ax2＞0．
得x1-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x1．
（Ⅱ）依题意知x0=-b 2a
因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的根．
∴x1+x2=-b-1 a ，x0=-b 2a =a(x1+x2)-1 2a =ax1+ax2-1 2a
因为ax2＜1，所以x0＜ax1 2a =x1 2 ．