Question

求曲面z=xy含在圆柱面x^2+y^2=R^2内部的那部分面积。带过程

Answer 1

解：∵z=xy ==>αz/αx=y，αz/αy=x
∴dS=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy=√(1+x²+y²)dxdy
故 所求面积=∫∫<S>dS (S表示所求面积在xy平面的投影：x²+y²=R²)
=∫∫<S>√(1+x²+y²)dxdy
=∫<0,2π>dθ∫<0,R>√(1+r²)rdr (作极坐标变换)
=(2π)(1/3)[(1+R²)^(3/2)-1]
=2π[(1+R²)^(3/2)-1]/3。