Question

高等数学证明题

设a>0,b>0,证明方程(x+a)²(x-b)+x²=0有一个正根，两个负根。

Answer 1

令f(x)=(x+a)^2*(x-b)+x^2，显然f(x)在R上连续
因为f(-a)=a^2>0，f(0)=-ba^2<0，f(b)=b^2>0
所以根据连续函数零点定理，存在k∈(-a,0)，m∈(0,b)，使得f(k)=f(m)=0
又因为，当x->-∞时，f(x)->-∞，所以存在n∈(-∞,-a)，使得f(n)=0
即方程f(x)=0存在一个正根m，两个负根k和n

Answer 2

记 f(x) = (x+a)^2 (x-b)+x^2 = x^3+(2a-b+1)x^2+(a^2-2abx)-ba^2，
为 3 次多项式，连续，最多有 3 个实根。
因 a>0, b>0, 则 lim<x→-∞>f(x) < 0, f(-a) > 0, f(0) = -ba^2 < 0, f(b) > 0，
则 3 个实根的区间分别为 (-∞, -a), (-a, 0), (0, b)
即 原方程有一个正根，两个负根。

Answer 3

二分法和求lim（x→＋∞）与lim（x→－∞）的极限

Answer 4

数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。