Question

设矩阵A=0,-1,1;-1,0,1;1,1,0求一个可逆矩阵p,使p-1AP为对角阵

Answer 1

设对应的二次型矩阵A的特征值为λ
则|A-λE|=
-λ -1 1
-1 -λ 1
1 1 -λ 第2列加上第3列
=
-λ 0 1
-1 -λ+1 1
1 1-λ -λ 第3行减去第2行
=
-λ 0 1
-1 -λ+1 1
2 0 -λ-1 按第2列展开
=(-λ+1)*(λ^2+λ-2)=0
解得λ=1，1，-2
当λ=1时，
A-E=
-1 -1 1
-1 -1 1
1 1 -1 第1行加上第3行，第2行加上第3行，交换第1行和第3行
～
1 1 -1
0 0 0
0 0 0
得到特征向量(1,0,1)^T和(0,1,1)^T
当λ= -2时，
A+2E=
2 -1 1
-1 2 1
1 1 2 第1行加上第2行×2，第2行加上第3行
～
0 3 3
0 3 3
1 1 2 第1行减去第2行，第2行除以3，交换第1和第3行
～
1 1 2
0 1 1
0 0 0 第1行减去第2行
～
1 0 1
0 1 1
0 0 0
得到特征向量(-1,-1,1)^T
所以矩阵P为
1 0 -1
0 1 -1
1 1 1