Question

数学 数列极限问题

An 是正项数列，Sn是An的部分和。
那么 条件1：Sn有上界
条件2：An收敛

这两个条件是什么关系？为什么？

Answer 1

【条件1：Sn有上界】是【条件2：An收敛】的必要非充分条件。

因为An收敛，则An【单调】有界。那么Sn就一定有界。
但Sn有界并不能保证An一定【单调】有界即收敛。
所以前者应该是后者的必要非充分条件。

比如An=（-1)^n
S1=1
S2=1-1
S3=1-1+1
……
Sn=1-1+…+（-1)^n
则|Sn|<2,但An不收敛

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追问

"因为An收敛，则An【单调】有界"
大哥 你从哪里得出的结论啊！ 反例我有很多哦

An是正项数列这个是前提啊！

追答

不对，答案错了，应该是充要条件
证明：An＞0，可知
S（n+1）=Sn+A（n+1）≥Sn≥0
于是，{Sn}是单调增加数列
因此，根据单调有界数列必有极限的定理
若{Sn}有上界，则极限lim（n-∞）Sn存在
所以级数An收敛
若无上界，lim（n-∞）Sn=+∞
从而级数An发散

这是书本的定理

追问

你好
书本上哪里或者那一页有这个定理
“若{Sn}有上界，则极限lim（n-∞）Sn存在所以级数An收敛。若无上界，lim（n-∞）Sn=+∞
从而级数An发散”

充分性我和你理解一样的，必要性我觉得不对，因为在Sn是单调递增数列的前提下。
条件1：Sn有上界 完全等价于 条件3：Sn 有极限 ，那么这个题就变成了条件3和条件2是什么关系了，An有极限Sn不一定有极限，但是Sn有极限An一定有极限。

追答

看图

Answer 2

1是2的充分非必要条件

追问

我们想的一致，不过我看了这个图，原来是个坑！

追答

好像必要不充分也不对······

追问

你觉得应该是哪一个答案对？