Question

1+1/2+…+1/n>∫1到2(1/x)dx+∫23(1/x)dx+…+∫nn+1(1/x)dx

Answer 1

积分中值定理定理：

以上，请采纳。

Answer 2

分享一种解法。∵x>0时，e^x=1+x+x²/2+…>1+x，∴x>ln(1+x)。
令x=1/n（n=1,2，……），∴1/n>ln(n+1)-lnn。
将其从1到n求和，∴∑1/n=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+……+[ln(n+1)-lnn]。
而，(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+……+[ln(n+1)-lnn]=∫(1,2)dx/x+∫(2,3)dx/x+……+∫(n,n+1)dx/x,
∴∑1/n>∫(1,2)dx/x+∫(2,3)dx/x+……+∫(n,n+1)dx/x成立。
供参考。

Answer 3

f₁(x)=xe^(-x²) (x≥0)
f₂(x)=1/(1+cosx) (-1<x<0)
f₁(x-2)=(x-2)[e^[-(x-2)²] x≥2
f₂(x-2)=1/[1+cos(x-2)] 1<x<2
∴∫₁f(x-2)dx=∫(x-2)e^[-(x-2)²]dx=-½∫e^(x-2)²d[-(x-2)²]=-½e^(x-2)²+C₁ x≥2
f₂f(x-2)dx=∫dx/[1+cos(x-2)]=∫dx/[2cos²[(x-2)/2]=2∫sec²[(x-2)/2]d[(x-2)/2]
=2tan[(x-2)/2)] +C₂ 1<x<2