Question

复合函数问题

Answer 1

你说对了，对于带有二次函数的复合函数一般要根据对称轴的位置来判断复合函数的单调性。但具体方法不必那么麻烦，以下思路供参考：

• 对于一个复合函数，首先要确定它的定义域，这个并不难。本例只要考虑x^2-3x+2>0 即可，由此得到该复合函数的定义域为x<1或者x>2

• 对于一个复合函数，其次要做的是明确它的复合类型。若令g(x)=x^2-3x+2（其定义域仍为x<1或者x>2），同时令h(t)=log1/2(t)（t=g(x)>0），则y=log1/2(x^2-3x+2)=h[g(x)]，即该复合函数由h(t)和g(x)复合而成，这里g(x)可称为内层函数（内函数），h(t)则称为外层函数（外函数）

• 对于一个复合函数，其单调性取决于内、外函数的单调性，一个重要的原理就是“同增异减”，即如果内外层函数都是增函数或都是减函数，那么复合函数将是增函数；相应的，如果内外函数中一个增函数而另一个是减函数，那么复合函数便是减函数。

• 具体到本例：

  显然h(t)=log1/2(t)（t>0）是减函数（问者说“在R上是减函数”是有误的，因为该函数的定义域并不是R）。而g(x)是个二次函数，它在R上是没有单调性的，但如果依据其对称轴，将定义域一分为二，那么二次函数在两个区间上又呈现出了明确的单调性。对于不是R上有定义而是有定义区间的二次函数的单调性，重点要看对称轴相对于区间的位置。回到本例，g(x)的定义域尽管是区间，但它包含了两个开放式的区间（即一端到-∞，一端到+∞），显然在整个定义域上g(x)仍然没有单调性。看看它的对称轴吧，x=3。那么当x<3时，g(x)为减函数；而当x>3时，g(x)为增函数（注意到g(x)开口向上）。于是可以发现，定义区间x<1在x<3的范围之内，也就是说，定义区间x<1上g(x)为减函数；但定义区间x>2跨过了对称轴两边的两个区间（x<3和x>3），也就是说g(x)在定义区间x>2仍然没有单调性。接下来就要依据对称轴细分这个定义区间x>2：将其分为2<x≤3和x>3（当然你分成2<x<3和x≥3也可以），易知定义区间2<x≤3上g(x)为减函数，而定义区间x>3上g(x)为增函数。综合起来就是在定义区间x<1或2<x≤3上g(x)为减函数，而定义区间x>3上g(x)为增函数。

  因h(t)为减函数，而g(x)一部分为减函数，一部分为增函数，所以按照复合原理（“同增异减”）该复合函数的单调性也是多样的：

  因x<1或2<x≤3上g(x)为减函数，而h(t)为减函数，则y=h[g(x)]为增函数

  因x>3上g(x)为增函数，而h(t)为减函数，则y=h[g(x)]为减函数

  所以y=log1/2(x^2-3x+2)的单调增区间为x<1或2<x≤3