Question

若定义为在R上的奇函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,且当0<x≤1时,f(x)=log3x,则方程f(x)=-1/3+f(0)在区

若定义为在R上的奇函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,且当0<x≤1时,f(x)=log3x,则方程f(x)=-1/3+f(0)在区间(0,10)内的所有实根之和为？
log3x中的3是下标

Answer 1

答：
f(x)是定义在R上的奇函数，则有：
f(0)=0
f(-x)=-f(x)
f(x)关于直线x=1对称：f(1-x)=f(1+x)
所以：f(x+1)=f(1-x)=f[2-(1+x)]
所以：f(x)=f(2-x)
f(x+2)=f(x+1+1)=f[1-(x+1)]=f(-x)=-f(x)=-f(2-x)=f(x-2)=f(x+2-4)
所以：f(x)=f(x-4)
所以：f(x)的周期为4
0<x<=1时，f(x)=log3(x)<=0
-1<=x<0时，0<-x<=1代入上式：f(-x)=log3(-x)=-f(x)，f(x)=-log3(-x)>=0
f(x)=-1/3+f(0)=-1/3<0
所以：方程的解在区间（0,2）、（4,6）、（8,10）上存在
并且每个区间上存在各两个解关于区间中线对称
(x1+x2)/2=(0+2)/2=1，x1+x2=2
同理：(x3+x4)/2=(4+6)/2，x3+x4=10
同理：(x5+x6)/2=(8+10)/2，x5+x6=18
所以：所有实数根之和=2+10+18=30

Answer 2

事实上是事实是事实是事实是事实是事实是事实是事实是事实是事实是事实是事实是事实是事实事实上身上