Question

设f(x)的定义域为R,若存在常数G>0,使/f(x)/<=G/x/对于一切实数x均成立，则下列符合条件的函数有———

1.f(x)=2x平方/(x平方-x+1)
2.f(x)=x平方*sinx
3.f(x)=2x(1-3的x次幂）

Answer 1

存在常数G，使得|f(x)|≤G|x|，即当x=0时，必须满足f(0)≤0，当x≠0时，有：|f(x)|/|x|≤G。

1、f(x)=(2x²)/(x²－x＋1)
当x=0时，f(0)=0，满足；当x≠0时，|f(x)|/|x|=|2x|/|x²－x＋1|=2/[|x|－1＋1/|x|]，
因为|x|＋1/|x|≥2，则：|f(x)|/|x|≤2，此时即有G=2；
2、f(x)=x²sinx，当x=0时，f(0)=0，满足；当x≠0时，|f(x)|/|x|=|xsinx|，不存在G，满足要求；
3、f(x)=2x(1－3^x)，当x=0时，f(0)=0，满足；当x≠0时，|f(x)|/|x|=|2(1－3^x)|，由于3^x>0，则1－3^x<1，即：|f(x)|/|x|不存在G，使得|f(x)|/|x|≤G。
满足要求的是：【1】

本题实际上就是研究函数|f(x)|/|x|的最大值是否存在，或者|f(x)|/|x|有无上界。。