Question

如图,在Rt三角形ABC中,角c=90度,D是AB的中点,E,F分别在Ac和Bc边上,且满足EF

=AE2十BF2,求证:DE垂直DF

Answer 1

已知：⊿ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E,F分别在AC和BC边上，且：EF²=AE²+BF²

求证：ED⊥EF。

证明：过A做AG∥BC，交FD的延长线于G，连接EG。如图。

∵AG∥BC（所做），∠C=90°（已知）

∴∠CAG=90°（两平行线与第三条直线相交，同旁内角互补）

且∠DAG=∠DBF，∠DGA=∠DFB（两平行线与第三条直线相交，内错角相等）

∵AD=BD（已知）

∴⊿ADG≌⊿BDF（两角和一边对应相等，两三角形全等）

∴DG=DF，AG=BF（全等三角形对应边相等）

∵EG²=AE²+AG²（勾股定理）

∴EG²=AE²+BF²（等量公理）

∵EF²=AE²+BF²（已知）

∴EG=EF（等量公理）

∴⊿EGF是等腰三角形（等腰三角形定义：两边相等的三角形是等腰三角形）

∴ED⊥EF（等腰三角形底边中线和垂线重合）

Answer 2

连接ef
过点b作bg垂直于bc,bg=bc
连接gf
因为d是ab的中点
所以ad=bd
又因为角acb=90
所以ac平行bg
所以角a=角gbd
又因为角ade=角bdg
所以三角形ade全等于三角形bdc
所以ef=fg
bg=ae
在直角三角形fbg中
fg^2=bf^2+bg^2
所以ae平方+bf平方=ef平方