Question

第一个题我还是不懂

1。解：PA+PB+PC≧3∛(PA•PB•PC)=3PA，当且仅仅当PA=PB=PC时等号成立。
故当PA+PB+PC取最小值3PA时P是△ABC的外心，PA=PB=PC=R(外接圆半径).
由余弦定理得AB=√(25+36-60cos30º)=√(61-30√3)
故R=AB/(2sin30º)=AB=√(61-30√3)
∴min(PA+PB+PC)=3√(61-30√3)

Answer 1

因为PA，PB，PC都是正数，按基本不等式，PA+PB+PC≧3∛(PA•PB•PC)=3PA，当且仅仅当PA=PB=PC时等号成立。当PA=PB=PC时，PA，PB，PC是三角形的外接圆半径，对一个确定
的三角形而言，外接圆半径是个定值，故上面的不等式是成立的。
下面要求出这个半径。
由余弦定理得AB=√(25+36-60cos30º)=√(61-30√3)，这个懂吗？学过余弦定理吗？
再由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，这里R就是外接圆的半径。
因此c/sinC=AB/sin30º=2R，故R=AB/(2sin30º)=AB=√(61-30√3)

∴min(PA+PB+PC)=3PA=3√(61-30√3)

请把不懂的地方说具体点。

追问

按基本不等式，PA+PB+PC≧3∛(PA•PB•PC)=3PA，这个等式我不懂

追答

定理一：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
证明：设x，y是两个正数，由于(√x-√y)²=x-2√(xy)+y≧0，故(x+y)/2≧√(xy)；当x=y时等号成立。
推论：设y=A/x，其中x、y、A均为正数，且A为常量，那么由定理得√A≦(1/2)(x+A/x)，
当且仅仅当x=A/x，即x=√A时等号才成立。由此可知：①如果两个正数x和y之积xy等于常数，那么
当x=y时，其和x+y获得极小值；②如果两个正数x与y值和x+y等于常数，则当且仅仅当x=y时，其积获得极大值。
定理二：n个非负的实数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即有不等式：
(a₁+a₂+a₃+....+a‹n›)/n≧(a₁a₂a₃....a‹n›)^(1/n)，当且仅仅当a₁=a₂=a₃=.....=a‹n›时等号成立。
这个定理的证明要用归纳法，比较啰嗦，我就不证了；你如果有兴趣，可找本参考书看看。
把n乘过去，即得a₁+a₂+a₃+....+a‹n›≧n(a₁a₂a₃....a‹n›)^(1/n)
在上面的问题中，只有三个正数：PA，PB，PC，因此n=3.