Question

已知函数f（x）=3^x，f（x）的反函数为h（x），且h（18）=a+2，g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[-1,1]

1.求g（x）的解析式
2.判断g（x）的单调性
3.若方程g（x）=m有解，求m的取值范围

Answer 1

1，∵f(x)的反函数为h(x)，且h(18)=a+2
∴18=f(a+2)，即：3^(a+2)=18
也即：9*3^a=18 ∴3^a=2
∴g(x)=2x-4^x x∈[-1,1]
2，g'(x)=2-4^x*ln4=2[1-4^x*ln2]
令1-4^x*ln2=0，则x=log4(1/ln2)=-log4(ln2)
当-1≤x<-log4(ln2)时，g'(x)<0；当-log4(ln2)<x≤1时g'(x)>0
∴g(x)在[-1,-log4(ln2))上单调递减，在(-log4(ln2),1]上单调递增
3，g(x)min=g(-log4(ln2))=-2log4(ln2)-(1/ln2)
而g(-1)=-2-1/4=-9/4，g(1)=2-4=-2，g(1)>g(-1) ∴g(x)man=g(1)=-2
则g(x)的取值范围为：[-2log4(ln2)-(1/ln2),-2]
故要使方程g(x)=m有解，m的取值范围就是[-2log4(ln2)-(1/ln2),-2]