Question

定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2k）（k∈Z），且当x∈（0,1）时，f（x）=2^x/4^x+1

1.求f（x）在[-1,1]上的解析式
2.证明：f（x）在（0,1）上是减函数
3.当m取何值时，方程f（x）=m在（0,1）上有解？

Answer 1

1x∈（0,1）时，f（x）=2^x/4^x+1=2^(-x)+1，令t=-x,那么，-t∈（0,1），因此f(-t)=2^t+1，而f(x)是奇函数，因此f(-t)=-f(t),所以，f（-t）=-f（t）=2^t+1，所以，f（t）=-2^t-1，所以，f（x）在（-1，0）上的解析式为，f(x)=-2^x-1,f(x)在（0，1）上解析式为f(x)=2^(-x)+1
2证明是减函数就不用说了吧，求导数就可以了。
3,f（x）-m=2^(-x)+1-m有解，2^(-x)=m-1有解，因此1/(m-1)=2^(x),要使得方程有解，那么，由于1<2^(x)<2，因此，1<1/(m-1)<2,因此，3/2<m<2