Question

这个高数题怎么证明啊

Answer 1

反证法：
首先，如果f'(x)在[0,1]内，如果既有<4,也有>4的值，根据连续性，必然有f'(x)=4的点，
（1）如果f'(x)>4
则∫（0,1）xf'(x)dx>∫（0,1）4xdx=2x²|（0,1）=2，与∫（0,1）xf'(x)dx=2矛盾；
（2）如果f'(x)<4,同理，∫（0,1）xf'(x)dx<2,与∫（0,1）xf'(x)dx=2矛盾；
（1）说明，[0,1]内必有f'(x)≤4的点，（2）说明，[0,1]内必有f'(x)≥4的点，根据连续性，[0,1]内必有f'(x)=4的点。