Question

设函数f(x)具有连续的导数，且f(0)=0,试求lim(t趋向于0)1/πt^4∫∫∫Df(根号下x^2+y^2+z^2)dv,求高手指点

其中D为x^2+y^2+z^2<<t^2

Answer 1

x^2+y^2+z^2<t^2表示一个球
则∫∫∫Df(根号下x^2+y^2+z^2)dv=∫《ρ从0积分到t》4πρ²·f(ρ)dρ =4π ∫《ρ从0积分到t》ρ²·f(ρ)dρ
则lim(t趋向于0)1/πt^4∫∫∫Df(根号下x^2+y^2+z^2)dv
=lim(t趋向于0) [1/πt^4]·[4π ∫《ρ从0积分到t》ρ²·f(ρ)dρ]
=lim(t趋向于0) [ 4∫《ρ从0积分到t》ρ²·f(ρ)dρ] /t^4
=lim(t趋向于0) [ 4t²·f(t)] /(4t^3) 【洛比达法则】
=lim(t趋向于0) f(t) /t
=lim(t趋向于0) [f(t)-f(0)] /(t-0)
=f'(0) 【导数的定义】

这就是最后的结果了。因为题中只说到f(x)具有连续的导数。