Question

设多项式f(x)=x4+x³-7x²+ax+2b与g(x)=x³-3x²+ax+b有公因式x+1，

设多项式f(x)=x4+x³-7x²+ax+2b与g(x)=x³-3x²+ax+b有公因式x+1，则f(x)与g(x)的最大公因式是？ (x4是x的4次方，求过程)

Answer 1

f(x)=x^4+x^3-7x^2+ax+2b
=x^4+x^3-7x^2-7x+7x+ax+2b
=x^3(x+1)-7x(x+1)+(7+a)x+2b
=(x^3-7x)(x+1)+(7+a)x+2b
∴要使得f(x)能被x+1整除，7+a得等于2b，即7+a=2b。（这步比较关键，可以用反证法或者系数待定法证明！）
同理，根据g(x)能被x+1整除，得出4+a=b。
联合两式可得，a=-1，b=3
∴f(x)=x^4+x^3-7x^2-1x+6
=(x^3-7x)(x+1)+6x+6
=(x^3-7x+6)(x+1)
=(x^3-x^2+x^2-x+x-7x+6)(x+1)
=[x^2(x-1)+x(x-1)-6(x-1)](x+1)
=(x^2+x-6)(x-1)(x+1)
=(x+3)(x-2)(x-1)(x+1)
g(x)=x^3-3x^2-x+3
=(x^2-4x+3)(x+1)
=(x-3)(x-1)(x+1)
∴很明显得到，f(x)与g(x)的最大公因式为(x-1)(x+1)，即x²-1.
希望这个回答对你有帮助~

Answer 2

哈哈，联考的吗，我连续找到好几题都是你问的了。。。