Question

已知:如图,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点P到X轴的距离是16,抛物线与X轴相交于M,O两点。

OM=8，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A,D在抛物线上。
（1）请写出P,M两点的坐标，并求出抛物线的解析式
（2）设矩形ABCD的周长为S,求S的最大值

Answer 1

（1）易知有4种情况皆满足条件：
第一种：P（4，-16），M（8，0），抛物线y=(x-4)²-16
第二种：P（4，16），M（8，0），抛物线y=(x-4)²+16
第三种：P（-4，16），M（-8，0），抛物线y=(x+4)²+16
第四种：P（-4，-16），M（-8，0），抛物线y=(x+4)²-16
（2）对上述四种情况，矩形ABCD的周长S的求解情况是相同的，故仅需考虑其中一种情况，不妨考虑第一种情况
设B（a，0），（a<4），易见，若a<0，则S可取任意值，无最大值，所以仅当0<a<4时才有最值问题，这时C（8-a，0），A（a，(a-4)²-16），所以S=2(BC+AB)=16+12a-2a²=-2[(a-3)²-17]
所以当a=3时，S最大值=34