Question

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1 设a<-1如果对任意x1、x2属于0到正无穷，都有|f(x1)-f(x2)|>=4|x1-x2| 求a的取

Answer 1

首先函数定义域（0,正无穷）
（1）求导，f'(x)=(a+1)/x+2ax=(2ax^2+a+1)/x
任意x1、x2属于0到正无穷，都有|f(x1)-f(x2)|>=4|x1-x2|
则对任意x1属于0到正无穷，f(x)在该点的切线的斜率的绝对值>=4
即|(2ax^2+a+1)/x|>=4 在（0,正无穷）上恒成立
|(2ax^2+a+1)|>=4x
当a<-1时|(2ax^2+a+1)|=-(2ax^2+a+1)
所以0>=2ax^2+4x+a+1 在（0,正无穷）成立
考察g(x)=2ax^2+4x+a+1
其对称轴在y轴的右侧，所以要使0>=2ax^2+4x+a+1 在（0,正无穷）成立
必须Δ≤0 所以a≤-2