级数∑(ln n /n^p)) 的敛散性 用比较判别法证明
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比较法
p>1时
lim(n→∞)(lnn/n^p)/(1/n^(1+(p-1)/2))
=lim(n→∞)lnn/n^(p-1)/2
=lim(n→∞) (1/n)/(p-1)/2*n^[(p-1)/2-1]
=lim(n→∞) 1/(p-1)/2*n^(p-1)/2=0
而1/n^(1+(p-1)/2)是级数收敛的
所以(lnn/n^p收敛
p<=1时
lim(n→∞) lnn/n^p/(1/n)
=lim(n→∞) lnn*n^(1-p)
=∞
而1/n级数发散，所以 lnn/n^p发散
所以综上
p>1，∑(ln n /n^p)收敛
p<=1，∑(ln n /n^p)发散
p>1时
lim(n→∞)(lnn/n^p)/(1/n^(1+(p-1)/2))
=lim(n→∞)lnn/n^(p-1)/2
=lim(n→∞) (1/n)/(p-1)/2*n^[(p-1)/2-1]
=lim(n→∞) 1/(p-1)/2*n^(p-1)/2=0
而1/n^(1+(p-1)/2)是级数收敛的
所以(lnn/n^p收敛
p<=1时
lim(n→∞) lnn/n^p/(1/n)
=lim(n→∞) lnn*n^(1-p)
=∞
而1/n级数发散，所以 lnn/n^p发散
所以综上
p>1，∑(ln n /n^p)收敛
p<=1，∑(ln n /n^p)发散
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