Question

函数转化问题！

设函数 f(x)=x^2-xlnx+2，杭州二中模拟的
（Ⅰ）求f(x)的单调区间； 已做出 是在（0，正无穷单调递增）
（Ⅱ）若存在区间[a,b]，使f(x)在[a,b]上的值域是[k(a+2),k(b+2)] ，求k的取值范围.
为何能将该问转化为 f(x)=k(x+2)在[1/2,正无穷]上至少有两个不同的正根
这个知识点一直不太清楚，求点拨
23:40还是没看懂啊

Answer 1

因为f(x)的导数为2x-lnx-1,当x在（0,1）内lnx<0,显然f(x)的导数大于0，
在[1,正无穷),f(x)的导数也大于0，函数为增函数
由题意f(a)=k(a+2),f(b)=k(b+2),该问转化为 f(x)=k(x+2)在[1/2,正无穷]上至少有两个不同的正根

追问

还是不理解……

追答

由题意f(a)=k(a+2),f(b)=k(b+2),该问转化为 f(x)=k(x+2)在[0,正无穷]上至少有两个不同的正根 ，其实a,b就是正根

Answer 2

根据第一问,在X>=1/2时,函数单调增
我们假设第二问中的a>=1/2,那么,显然,当x=a时,函数取最小值k(a+2),当x=b时,函数取最大值k(b+2)
我们注意到,a和b应该是方程 f(x)=k(x+2) 的两个不同的根(把x=a,b代入,等式成立)
也就是说, f(x)=k(x+2)在[1/2,正无穷]上至少有两个不同的正根,则最小的根即a,最大的根即b,对应的值域也就是[k(a+2),k(b+2)] 了