Question

高数三重积分题如图详细解答过程？

Answer 1

这就是x2+y2,是多少不是很简单么

Answer 2

方法一:∫∫∫Ω z²dxdydz
=∫-c→c dz ∫∫(x²/a²+y²/b²≤1-z²/c²) z²dxdy
经广义极坐标变换x=arcosθ，y=brsinθ，r∈(0，√(1-z²/c²))，θ∈[0，2π]
=∫-c→c dz ∫0→2π dθ∫0→√(c z²dz∫0→√(1-z²/c²)-z²/c²) z²abrdr
=πab∫-c→c z²dz∫0→√(1-z²/c²) 2rdr
=πab∫-c→c z²dz r²|0→√(1-z²/c²)
=πab∫-c→c z²(1-z²/c²) dz
=πab [1/3 z³-1/(5c²) z^5]|-c→c
=πab(1/3 c³-1/5 c³+1/3 c³-1/5 c³)
=4πabc³/15

方法二:∫∫∫Ω z²dxdydz
=∫-c√(1-x²/a²-y²/b²)→c√(1-x²/a²-y²/b²) dz ∫∫(x²/a²+y²/b²≤1) z²dxdy
广义极坐标变换x=arcosθ，y=brsinθ，θ∈[0，2π]
r∈[0，1]
=∫-c√(1-r²) →c√(1-r²) z²dz∫0→2π dθ∫0→1 abrdr
=4πabc³/3∫0→1 r(1-r²)√(1-r²)dr
令r=sinα α∈[0，π/2]
=4πabc³/3∫0→π/2 sinαcos³αdsinα
=-4πabc³/3 ∫0→π/2 (cosα)^4dcosα
=-4πabc³/3 abc³ 1/5 (cosα)^5 |0→π/2
=-4πabc³/3 ×(0-1/5)
=4πabc³/15

方法三:
直接广义极坐标变换:x=arsinψcosθ，y=brsinψsinθ，z=crcosψ ψ∈[0，π]
θ∈[0，2π]，r∈[0，1] 则
∫∫∫Ω z²dxdydz
=abc∫0→2π dθ∫0→π dψ∫0→1 r²sinψ(crcosψ)²dr
=-2πabc³∫0→π cos²ψdcosψ∫0→1 r^4dr
=-2πabc³∫0→π cos²ψdcosψ 1/5 r^5|0→1
=-2πabc³/5 ∫0→π cos²ψdcosψ
=-2πabc³/5 1/3 cos³ψ|0→π
=-2πabc³/5 ×1/3×(-1-1)
=4πabc³/15

追答

第四行是如下
=∫-c→c dz ∫0→2π dθ∫0→√(1-z²/c²) z²abrdr

追问

嘛嘛，辛苦你了。

Answer 3

先二后一型积分，答案很详细了