Question

高三向量题，急啊！！

已知三角形ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交AB、AC于E，F两点，若AB=xAE ，AC=yAF （X，Y大于0） 则1/x + 4/y的最小值是？

Answer 1

∵点D是BC的中点
∴向量AB+AC=2AD
∵AB=xAE ，AC=yAF
∴xAE+yAF=2AD
∴x/2*AE+y/2*AF=AD
∵E,D,F三点共线
∴x/2+y/2=1
∵X，Y大于0
∴1/x + 4/y
=(1/x + 4/y)(x/2+y/2）
=5/2+2x/y+y/(2x)≥5/2+2=9/2
2x/y=y/(2x),y=2x时取等号
∴1/x + 4/y的最小值是9/2

Answer 2

【假如E在AB上、F在AC延长线上】延长AD至M，连接BM、CM，设CM与EF交于点N，则：
BE/AE=CM/AE=FC/AF
得：FC/AF=x－1
另外：y=AC/AF
因FC/AF＋AC/AF=1
则：y＋(x－1)=1
x＋y=2
M=(1/x)＋(4/y)
=(1/2)[(1/x)＋(4/y)]×(x＋y)
=(1/2)[5＋(4x/y)＋(y/x)]≥(1/2)[5＋4]=9/2
即M的最小值是9/2
则：(1/x)＋(4/y)的最小值是9/2

Answer 3

最小值是4，图形叙述如下（在三角形ABC中，我作的过点D的直线与AB的延长线交于点E，与AC交于点F）
过点B作BG∥AC交EF于点G，由点D是BC上的中点可知，△BGD≌△CFD，则BG=CF。则BG:AF=(y-1):1，BE:AE=(1-x)：1，由BG∥AC有，BG:AF=BE:AE，即y-1=1-x，故x+y=2.
因为x>0,y>0,所以有2=x+y≥2√xy，则√xy≤1：
1/x+4/y≥2√4/(xy)≥4/√xy≥4,即此式的最小值是4.