Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像经过点B(0,2),

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像经过点B(0,2),且与x轴的正半轴交于点A，点P、点Q在线段AB上，点M/N在线段AO上，且△OPM与△QMN是相似比为3：1的两个等腰直角三角形，∠ OPM=∠ MQN=90°求（1）AN:AM的值，（2）一次函数的表达式

Answer 1

做如图辅助线

（1）设PE=a，△OPM与△QMN是相似比为3：1的两个等腰直角三角形，所以QF=1/3a

OE=EM=a，MF=NF=1/3a

∠POM=∠QMA=45º，OP∥MQ

AM/AO=MQ/OP=1/3

∴AM/OM=1/2

∴AM=a，∵MF=NF=1/3a  ∴AN=1/3a

∴AN:AM=1/3a：a=1:3

（2）根据（1），p点坐标（a，a），Q点坐标（7/3a，1/3a）

一次函数关系为y=kx+2，代入P、Q坐标，解出a，k值

a=4/3，k=-1/2

y=-1/2x+2

Answer 2

解：过P、Q两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
设DQ=a，依题意，得OC=PC=3a，OD=7a，
又∵而直线y=kx+b的图象经过点B（0，2），
∴b=2，
将P（3a，3a），Q（7a，a）代入y=kx+2中，得 3ak+2=3a 7ak+2=a ，
解得 a=4 9 k=-1 2 ，
∴直线AB解析式为y=-1 2 x+2，可知A（4，0），
（1）AN=OA-ON=4-8a=4 9 ，AM=OA-OM=4-6a=4 3 ，AN：AM=4 9 ：4 3 =1：3；
（2）直线AB解析式为y=-1 2 x+2．

Answer 3

:(1). ∵PM∥QN, ∴AN︰AM=QN︰PM=1︰3,即AM=3AN.

(2). ∵B点的坐标为（0，2），∴b=2.

MN=AM-AN=3AN-AN=2AN,已知OM=3MN,

故OM=3MN=6AN

OA=0M+MN+AN=6AN+2AN+AN=9AN

令一次函数y=kx+2=0,即得X=OA=-2/K

于是有9AN=-2/K

即AN=-2/9K..........(1)

设P点的坐标为（XP,YP),P在AB上，故YP=KXP+2;又P在OP上，

故YP=XP,即有KXP+2=XP,∴XP=-2/(K-1)........(2)

XP=OM/2=6AN/2=3AN=3(-2/9K)=-2/3K.........(3)

由（2）（3）得 -2/3k=-2/(k-1)

3k=k-1,2k=-1,∴k=-1/2.

故一次函数式为 y=(-1/2)x+2.