线性代数题，设A=E+αβ^T，其中α、β均为列向量。。。
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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r(a)=n-1，首先可以确定，a的基础解系所含的解向量个数是n-（n-1）=1个
那么就很简单了，找一个向量，代入ax=0可以使之成立就行了。
利用题目的暗示，这个向量可能是a
我们试一试代入ax=0
(e-aa^t)x=0
(e-aa^t)a=0
a右乘进去得
(e-aa^t)a=(a-aa^ta)，因为a^ta=1，所以
(e-aa^t)a=(a-aa^ta)=(a-a)=0，也就是aa=0，所以a就是基础解系
所以通解是x=ka，k为任意常数
--------------
另外提醒一下，一般像这种有a^ta的题目，经常会左(右)乘a或者at来利用题目的条件。
那么就很简单了，找一个向量，代入ax=0可以使之成立就行了。
利用题目的暗示，这个向量可能是a
我们试一试代入ax=0
(e-aa^t)x=0
(e-aa^t)a=0
a右乘进去得
(e-aa^t)a=(a-aa^ta)，因为a^ta=1，所以
(e-aa^t)a=(a-aa^ta)=(a-a)=0，也就是aa=0，所以a就是基础解系
所以通解是x=ka，k为任意常数
--------------
另外提醒一下，一般像这种有a^ta的题目，经常会左(右)乘a或者at来利用题目的条件。
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需要明白秩为1的矩阵的特征值是啥！
======================================
如果A是秩为1的n阶方阵,
则
1.
A可表示为αβ^T,
其中α,β为n维列向量
2.
A^k
=
(α^Tβ)^(k-1)A
3.
tr(A)=α^Tβ
4.
A的特征值为
α^Tβ,0,0,...,0
======================================
显然题目中的αβ^T
是一个秩为1的矩阵
所以其特征为3，0，。。。。0（n-1个0）
那么A的特征值为4，1，。。。。1（n-1个1）
那么A+2E的特征值为6，3，。。。。。3（n-1个3）
其行列式就是6*3^(n-1)=2*3^n
======================================
如果A是秩为1的n阶方阵,
则
1.
A可表示为αβ^T,
其中α,β为n维列向量
2.
A^k
=
(α^Tβ)^(k-1)A
3.
tr(A)=α^Tβ
4.
A的特征值为
α^Tβ,0,0,...,0
======================================
显然题目中的αβ^T
是一个秩为1的矩阵
所以其特征为3，0，。。。。0（n-1个0）
那么A的特征值为4，1，。。。。1（n-1个1）
那么A+2E的特征值为6，3，。。。。。3（n-1个3）
其行列式就是6*3^(n-1)=2*3^n
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