Question

已知函数f(x)=x|x-a|-1/4,x∈R

已知函数f(x)=x|x-a|-1/4,x∈R
(1)当a=1时,求函数y=f(2^x)的零点
(2)若对任何x∈[0,1]不等式f(x)＜0恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

（1）当 a=1，f(x)=x|x-1|-(1/4)；
零点 y=f(t)=0 → t=(1+√2)/2 或 t=-1/2；
令 2^x=t=(1+√2)/2，x=1+log(1+√2)；（对数底为 2）；
（2）f(x)<0 → x|x-a|-(1/4)<0 → |x-a|<1/(4x) 或 -1/(4x)<x-a<1/(4x) → x-[1/(4x)]<a<x+[1/(4x)]；
x-[1/(4x)] 的最大值是 1-[1/(4*1)]=3/4，x+[1/(4x)] 的最小值是 2√[x*(1/(4x))]=1；
∴ 3/4<a<1；