Question

如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABF,过E作EF⊥AB于F,连接DF,∠BAC=30度.

求证1,AC=EF
2,四边形ADFE是平行四边形

Answer 1

首先题目出错，题目应该为
如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,“等边△ABE”,过E作EF⊥AB于F,连接DF,∠BAC=30度.
请留意应为等边△ABE，而不是等边△ABF。
首先设BC的长度为x,
因为Rt△ABC的直角边AC及斜边AB，∠BAC=30度，那么AB=2BC=2x,AC=√3x.
因为等边△ABE, EF⊥AB于F,等边三角形垂线、中线、角平分线三线合一，AB=BE=2x，BF=AF=x,那么EF=√3x=AC.
第一问就解出了。
因为等边△ACD，AC=AD=√3x=EF,
因为∠BAC=30度，等边△ACD，∠DAC=60度，那么∠DAF=90度，AD=√3x，AF=x，DF=√3x
所以AD=EF,AE=DF,所以ADFE是平行四边形。