Question

已知数列an满足a（n+1）=3an+2·3的n次方+1，a1=3，求数列an的通项公式

已知数列an满足a（n+1）=3an+2·3的n次方+1，a1=3，求数列an的通项公式

Answer 1

a(n+1)=3a(n)+2*3^n+1
等式两边同时除以3^(n+1):
a(n+1)/(3^(n+1))=a(n)/(3^n)+2+(1/3)^n
令b(n)=a(n)/(3^n),得
b（n+1）=b(n)+2+(1/3)^n
又b1=a1/3=1,所以
b(n)=[b(n)-b(n-1)]+[b(n-1)-b(n-2)]+…+[b(2)-b(1)]+b(1)
=2(n-1)+(1/3)[1-(1/3)^(n-1)]/(1-1/3)+1
=2n-1/2-1/[2*3^(n-1)] (n>=2)
经检验，当n=1时也符合上式
所以a（n）=b(n)*3^n=[(4n-1)*3^n]/2-3/2

追问

第一步同除对吗

追答

是的，我的右边的后两项写错了，应该除以3^(n+1)，我的只除了3^n

Answer 2

这右边到底是3^n+1还是3^(n+1)？如果是3^n+1,那么这样解：
a(n+1)=3a(n)+2*3^n+1
等式两边同时除以3^(n+1):
a(n+1)/(3^(n+1))=a(n)/(3^n)+2/3+(1/3)^(n+1)构建一个新的数列b(n)=a(n)/(3^n)
用叠加法来求b(2)-b(1)=2/3+(1/3)^2,b(3)-b(2)=2/3+(1/3)^3........b(n)-b(n-1)=2/3+(1/3)^(n-1)中间项抵消可得b(n)-b(1)=(n-1)2/3+[(1/3)^2+(1/3)^2+.....(1/3)^n
右侧再用等比求和就可以算出来了，我算的是a(n)=[1/2-1/(2*3^n)+(2/3)n]3^n

追问

2·3^n+1

追答

等比求和整理完后要把a1=3代入然后移项，合并常数项。写数学符号太费劲，我不写了你自己算算