Question

极限运算除法法则证明

Answer 1

设limf(x)=a,limg(x)=b(b≠0),（x→x0)求证limf(x)/g(x)=a/b
证明：只要证明f(x)/g(x)-a/b是无穷小即可。
由于limf(x)=a,limg(x)=b,可设f(x)=a+a,g(x)=b+b,其中a和b是x→x0时的无穷小
f(x)/g(x)-a/b=(a+a)/(b+b)-a/b=(bb-aa)/[b(b+b)]
因为a,b是无穷小，a,b是常数，所以bb-aa是无穷小，因此只要证明1/b(b+b)有界。
因为limg(x)=b≠0，所以存在点x0的某个去心邻域u(x0),当x∈u(x0)时，
│g(x)│>│b│/2,所以1/│b(b+b)│=1/(│b│*│g(x)│)<2/│b│^2（正数）
所以1/b(b+b)有界,(bb-aa)/[b(b+b)]是无穷小
证毕！

Answer 2

若b不等于0，Yn不等于0，则limXn/Yn=a/b
（n趋于无穷，以后略）
如果你已经知道乘法是怎么证明的，则现在只需证明lim1/Yn=1/b
|1/Yn-1/b|=|(Yn-b)/Ynb|<=2/|b^2|*|Yn-b|
令ε0=|b|/2>0,存在N1，使得当n>N1时，有|Yn-b|<ε0
|Yn|>=|b|-|Yn-b|>=|b|-ε0=|b|/2
任取ε>0,由limYn=b,存在N2，使得当n>N2时，有|Yn-b|<|b^2|*ε/2
取N=max(N1,N2),当n>N时，有
|1/Yn-1/b|=|(Yn-b)/(bYn)|<(2/|b|^2)*(ε*|b|^2/)=ε
即lim1/Yn=1/b